Conxuntu abiertu

Un conxuntu abiertu, en topoloxía y otres cañes de les matemátiques, ye un conxuntu nel que toos y cada unu de los sos elementos tán arrodiaos por elementos que tamién pertenecen al conxuntu;^[1] o, dichu d'una manera más intuitiva, que nengún elementu de dichu conxuntu pertenez tamién a la frontera d'ésti. En términos más rigorosos dizse qu'en cualquier elementu del conxuntu puede centrase una bola abierta que ta totalmente contenida nel conxuntu.^[2] Puede xeneralizase el conceutu de ‘bola’ como los elementos que tán mui cerca d'otru en cualquier direición, arrodiándolo, pero pa ello ye necesariu definir una función alloña que dexe evaluar l'alloñanza o cercanía ente los oxetos del conxuntu, constituyendo asina un espaciu métricu —un conxuntu más una definición de distancia n'él—.

Como exemplu típicu puede evaluase l'intervalu abiertu (0, 1) nos númberos reales (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$), que se correspuende con tolos númberos ente 0 y 1 pero ensin incluyir estos, esto ye, tolos númberos reales x con 0 < x < 1. Con éses, intuitivamente dizse que ye un conxuntu abiertu porque, <o>pa cualquier númberu x que perteneza al conxuntu</o>, por enforma que pretendamos averanos a la frontera del conxuntu —0 y 1—, siempres hai más elementos ente dichu númberu x y la frontera. Por casu, si evaluamos el puntu 0.9, ente este y el 1 ta'l 0,99, por casu; al igual qu'ente 0,99 y 1 ta'l 0,999; y asina socesivamente. Siempres hai más númberos ente cualquier elementu del conxuntu y la frontera, y ye por tanto ‘abiertu’. Sicasí, nel conxuntu zarráu [0, 1] ente l'elementu 1 y la frontera del intervalu —que tamién ye 1— nun esisten más elementos, polo que se deduz que ye en xunto ‘zarráu’.

O valorando la esplicación más rigorosa, l'espaciu métricu nel casu del intervalu (0, 1), denotado como (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, d), ye'l constituyíu por:

• Los elementos que pertenecen a los númberos reales (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$), esto ye, dende ${\displaystyle \scriptstyle -\,\infty }$ a ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$.
• La función alloña que, usando la distancia euclídea (d), defínese como'l valor absolutu de la resta ${\displaystyle \scriptstyle |\,b\,-\,a\,|}$.

D'esta manera en tou númberu x del conxuntu (0, 1) puede centrase una bola que ta incluyida dientro del conxuntu; yá que na recta real una bola abierta centrada nun númberu x corresponder con otru intervalu de la forma (x - ε, x + ε), onde epsilon ye una cantidá bien pequeña, tou lo que se quiera. Asina, una bola centrada en 0,9 va tar dientro del conxuntu, según en 0,99 o en 0,999999, pos siempres va haber un epsilon de separación ente'l puntu y la frontera. Pela cueta nel conxuntu zarráu [0, 1], una bola centrada nel elementu 1 va quedar parcialmente fuera del conxuntu.

Repare que'l qu'un conxuntu dau O seya abiertu depende del espaciu circundante, el "cuartu de xuegos". Por casu, el conxuntu de los númberos racionales ente 0 y 1 (esclusivu) ye abiertu nos númberos racionales, pero nun ye abiertu nos númberos reales. Repare tamién que "abiertu" nun ye'l contrariu de zarráu. Primero, esisten conxuntos que son dambos abiertos y zarraos, llamaos conxuntos clopen, como por casu el conxuntu de los númberos racionales más pequeños que √2 nos númberos racionales. Segundu, hai conxuntos que nun son abiertos nin zarraos, como por casu (0, 1] en R.

1. ↑ Chamizo Lorente, Fernando (2004). «Topología». Universidá Autónoma de Madrid:  p. 12. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/libreria/fich/APtopo98.pdf. «Llámense abiertos a los conxuntos que “arrodien” a tolos sos puntos y asina la definición global de continuidá ye a cencielles f ^-1 (abiertu) = abiertu.». .
2. ↑ Chamizo Lorente, Fernando (2004). «Topología». Universidá Autónoma de Madrid:  p. 12. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/libreria/fich/APtopo98.pdf. «¿Pero qué queremos dicir con “arrodiar” a un puntu? Si siguióse'l razonamientu anterior, quier dicir qu'esiste una bola (abierta) centrada nesi puntu y totalmente contenida nel conxuntu.». 
3. ↑ Chamizo Lorente, Fernando (2004). «Topología». Universidá Autónoma de Madrid:  p. 12. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/libreria/fich/APtopo98.pdf.