Cos finit

En matemàtiques i més precisament en la branca de la teoria de Galois, un cos finit, anomenat també cos de Galois és un cos el cardinal del qual és finit (té un nombre finit d'elements). Tret d'isomorfismes, tot cos finit queda completament determinat pel seu cardinal que és sempre de la forma pⁿ, una potència d'un nombre primer. Aquest nombre primer no és altre que la seva característica (el nombre més petit de vegades que s'ha de sumar l'element neutre de la multiplicació per a obtenir l'element neutre de la suma) i el cos es presenta com l'única extensió finita del cos primitiu Z/p de dimensió n.

Les aplicacions són essencialment la teoria de nombres algebraics on els cossos finits apareixen com una estructura essencial per a la geometria aritmètica. Aquesta branca ha permès, entre altres coses, demostrar l'últim teorema de Fermat. Els cossos finits s'utilitzen sovint en criptografia i en teoria dels codis, per exemple, per determinar codis correctors eficaços.

Observació sobre la terminologia: quan l'àlgebra abstracta va començar a ésser desenvolupada, la definició de cos normalment no incloïa la commutativitat de la multiplicació, així el que avui s'anomena cos fa un temps hauria estat anomenat cos commutatiu o domini racional. Avui en dia però, un cos és sempre commutatiu. Una estructura que satisfaci totes les propietats d'un cos llevat de la commutativitat, s'anomena avui anell de divisió encara que cos no commutatiu és encara força usat. Altres llengües han mantingut aquesta antiga notació. Així per exemple, en italià i francès, els anells de divisió se'ls anomena corpo i corps. En canvi, en anglès, alemany i espanyol, field, Körper (d'aquí ve que ${\displaystyle \mathbb {K} }$ denoti normalment un cos) i cuerpo signifiquen cos. Cal remarcar que en francès no hi ha una paraula concreta per designar un cos, amb la qual cosa s'ha d'usar la forma corps commutatif.^[1] En italià existeix també la forma campo que es tradueix exactament per la nostra noció de cos. En el cas dels cossos finits, aquesta observació, de fet, té poca importància, ja que, segons el teorema de Wedderburn, tot cos finit és commutatiu. Aquest resultat es demostra amb l'ajuda dels polinomis ciclotòmics.