La teoria de la probabilitat és la teoria matemàtica que modela els fenòmens aleatoris. Aquests han de contraposar-se als fenòmens determinístics, en els quals el resultat d'un experiment, realitzat sota condicions determinades, produeix un resultat únic o previsible: per exemple, l'aigua escalfada a 100 graus Celsius, a pressió normal, es transforma en vapor. Un fenomen aleatori és aquell que, a pesar que l'experiment es realitzi sota les mateixes condicions determinades, té com a resultats possibles un conjunt d'alternatives, exemples: llançar un dau o una moneda.
Els processos reals que es modelitzen com a processos aleatoris poden no ser-ho realment; igual que llençar una moneda o un dau no són processos aleatoris en sentit estricte, ja que no es reproduïxen exactament les mateixes condicions inicials que ho determinen sinó només unes poques. Els processos reals que es modelitzen mitjançant distribucions de probabilitat corresponen a models complexos on no es coneixen tots els paràmetres que hi intervenen o no són reproduïbles les seves condicions inicials (teoria del caos). Per a simplificar, generalment a aquest tipus de problemes també se'ls considera aleatoris, encara que estrictament parlant no ho siguin. De fet, no és possible predir exactament els resultats dels esdeveniments aleatoris.[1] Tanmateix, si una successió d'esdeveniments individuals, com el llançament de monedes o el llançament de daus, està influïda per altres factors, com la fricció, mostrarà uns certs patrons, que sí que es poden estudiar i predir.[2] Dos resultats matemàtics que descriuen aquests patrons són la llei dels grans nombres i el teorema central del límit.
El 1933, el matemàtic soviètic Andrei Kolmogórov va proposar un sistema d'axiomes per a la teoria de la probabilitat, basat en la teoria de conjunts i en la teoria de la mesura, desenvolupada pocs anys abans per Lebesgue, Borel i Fréchet, entre altres.
Aquesta aproximació axiomàtica que generalitza el marc clàssic de la probabilitat, la qual obeïx a la regla de càlcul de casos favorables sobre casos possibles, va permetre la modulació matemàtica de sofisticats fenòmens aleatoris. Actualment, aquests fenòmens troben aplicació en les més variades branques del coneixement, com pot ser la física (on correspon esmentar el desenvolupament de les difusions i el moviment brownià), o les finances (on destaca el model de Black i Scholes per a la valuació d'accions). Com a fonament matemàtic de l'estadística, la teoria de la probabilitat és essencial per a moltes activitats quotidianes que impliquen l'anàlisi quantitativa de grans volums de dades.[3] Els mètodes de la teoria de la probabilitat també es poden aplicar a descripcions de sistemes complexos dels quals només se'n coneix part del seu estat, com en mecànica estadística. Un gran descobriment de la física del segle xx fou la naturalesa probabilística dels fenòmens físics a escala atòmica, descrits mitjançant la mecànica quàntica.[4]