Curvatura de Gauss

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La curvatura gaussiana de una superficie es un número real ${\displaystyle K}$(P₀) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P₀ de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie:

${\displaystyle K(P_{0})={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}={\frac {b_{11}b_{22}-{b_{12}}^{2}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}}$

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k₁ y k₂), mediante la relación K = k₁k₂.

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a ${\displaystyle K(S^{2})=1/r^{2}>0\;}$.

La curvatura gaussiana también puede ser negativa, como en el caso de un hiperboloide o el interior de un toro.

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación ${\displaystyle K:S\to K(S)}$ donde ${\displaystyle K(S)\in C^{1}(S,\mathbb {R} )}$ (una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.
La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

${\displaystyle N\colon S\to S^{2}\qquad }$, definido mediante ${\displaystyle N(p)={\frac {\partial _{u}\times \partial _{v}}{\|\partial _{u}\times \partial _{v}\|}}|_{p}}$

Donde ${\displaystyle \partial _{u},\partial _{v}}$ son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p.

Con la derivada (jacobiano) del operador de forma

${\displaystyle L(p)=N'(p):T_{p}S\to T_{N(p)}S^{2}}$

uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.

${\displaystyle K(p)=\det[L(p)]\,}$

Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación

${\displaystyle K={\frac {R_{1212}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}={\frac {h_{11}h_{22}-{h_{12}}^{2}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}}$

Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es ${\displaystyle {\frac {\cos v}{2+\cos v}}}$ donde se ha usado la parametrización:

${\displaystyle (v,w){\stackrel {\phi }{\to }}((2+\cos v)\cos w,(2+\cos v)\sin w,\sin v)}$