Espacio compacto

En la rama de topología de las matemáticas, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La noción de compacidad es una versión más general de esta propiedad.

Un conjunto compacto es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un espacio topológico compacto.

La compacticidad es una propiedad que busca generalizar el concepto de un subconjunto cerrado y acotado en el espacio Euclidiano.^[1]​ La idea es que un espacio compacto no posee "pinchazos" o "ausencia de puntos finales", o sea, incluye todos los valores límites de los puntos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no es compacto porque excluye los valores límites 0 y 1, mientras que el intervalo cerrado [0,1] es compacto. De manera similar, el espacio de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ no es compacto, porque posee un número infinito de "pinchazos o agujeros" correspondientes a los números irracionales, y el espacio de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tampoco es compacto, porque excluye a los dos valores límites ${\displaystyle +\infty }$ y ${\displaystyle -\infty }$. Sin embargo, la línea de números reales extendida sería compacta, ya que contiene ambos infinitos. Existen numerosas maneras de expresar de manera precisa esta noción heurística. Estas maneras por lo general coinciden en un espacio métrico, pero pueden no ser equivalentes en otros espacios topológicos.

Una de estas generalizaciones establece que el espacio topológico es secuencialmente compacto si toda sucesión infinita de puntos muestreados del espacio posee una sub sucesión que converge a un punto en el espacio.^[2]​

El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que un subconjunto del espacio euclidiano es compacto en este sentido secuencial si y sólo si es cerrado y acotado.

Por lo tanto, si uno elige un número infinito de puntos en el intervalo unitario [0, 1], algunos de esos puntos se acercarán arbitrariamente a algún número real en ese espacio. Por ejemplo, algunos de los números en la secuencia 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... se acumulan hasta 0 (mientras que otros se acumulan hasta 1). Dado que ni 0 ni 1 son miembros del intervalo unitario abierto (0, 1), esos mismos conjuntos de puntos no se acumularían en ningún punto del mismo, por lo que el intervalo unitario abierto no es compacto. Aunque los subconjuntos (subespacios) del espacio euclidiano pueden ser compactos, el espacio completo en sí mismo no es compacto, ya que no está acotado. Por ejemplo, considerando ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ (la recta numérica real), la secuencia de puntos 0,  1,  2,  3, ... no tiene subsecuencia que converja a ningún número real.

1. ↑ «Compactness». Encyclopaedia Britannica. mathematics (en inglés). Consultado el 25 de noviembre de 2019 – via britannica.com. 
2. ↑ Engelking, Ryszard (1977). General Topology. Warsaw, PL: PWN. p. 266.