En matemáticas, el concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización extiende los métodos del álgebra lineal y el cálculo aplicados en el espacio euclídeo de dos dimensiones y tres dimensiones a los espacios de dimensión arbitraria, incluyendo los espacios de dimensión infinita. Ejemplos de tales nociones y técnicas son la de ángulo entre vectores, ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyección ortogonal, distancia entre vectores y convergencia de una sucesión. El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático David Hilbert quien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales.
Más formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interno. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto de series de Fourier y ciertas transformaciones lineales tales como la transformación de Fourier, además son de importancia crucial en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudian dentro del análisis funcional.