Funcional de Minkowski

En matemáticas, en el campo del análisis funcional, un funcional de Minkowski (en referencia al matemático alemán Hermann Minkowski) o función de calibre es una aplicación que establece una noción de distancia en un espacio lineal.

Si ${\displaystyle K}$ es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo ${\displaystyle X}$, entonces el funcional de Minkowski o calibre de ${\displaystyle K}$ se caracteriza como la función ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty ]}$, sobre la recta real extendida, definida por

${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ y }}x\in rK\}\quad {\text{ para todo }}x\in X}$,

donde el ínfimo del conjunto vacío se define como el infinito positivo ${\displaystyle \,\infty \,}$, (que no es un número real, por lo que ${\displaystyle p_{K}(x)}$ no tendría entonces un valor real).

A menudo se supone (o se elige) que el conjunto ${\displaystyle K}$ tenga algunas propiedades determinadas, como ser un disco absorbente en ${\displaystyle X}$, lo que garantiza que ${\displaystyle p_{K}}$ será una seminorma de valor real en ${\displaystyle X}$.

De hecho, cada seminorma ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle X}$ es igual al funcional de Minkowski (es decir, ${\displaystyle p=p_{K}}$) de cualquier subconjunto ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle X}$ que satisfaga que ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ (donde los tres conjuntos son necesariamente absorbentes en ${\displaystyle X}$ y el primero y el último también son discos).

Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de forma no única) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski (que necesariamente será una seminorma).

Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes son una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales de Minkowski permiten traducir ciertas propiedades geométricas de un subconjunto de ${\displaystyle X}$ y asociarlas con ciertas propiedades algebraicas de una función en ${\displaystyle X}$.

La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir, ${\displaystyle p_{K}\geq 0}$). Esta propiedad de ser no negativa contrasta con otras clases de funciones, como la función sublineal y el funcional lineal real, que sí permiten valores negativos. Sin embargo, es posible que ${\displaystyle p_{K}}$ no tenga un valor real, ya que para cualquier ${\displaystyle x\in X}$, dado, el valor ${\displaystyle p_{K}(x)}$ es un número real si y solo si ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ no es vacío.

En consecuencia, generalmente se supone que ${\displaystyle K}$ tiene propiedades (como ser absorbente en ${\displaystyle X}$, por ejemplo) que garantizarán que ${\displaystyle p_{K}}$ tenga un valor real.