Grupo ortogonal

En matemática, el grupo ortogonal de grado n sobre un cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$, designado como ${\displaystyle \scriptstyle {\text{O}}(n,\mathbb {F} )}$, es el grupo de matrices ortogonales n por n con las entradas en ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. Este es un subgrupo del grupo general lineal ${\displaystyle \scriptstyle {\text{GL}}(n,\mathbb {F} )}$.

Cada matriz ortogonal tiene determinante 1 o -1. Las matrices n por n ortogonales con determinante 1 forman un subgrupo normal de ${\displaystyle \scriptstyle {\text{O}}(n,\mathbb {F} )}$ conocido como el grupo ortogonal especial ${\displaystyle \scriptstyle {\text{SO}}(n,\mathbb {F} )}$, también conocido como grupo de rotaciones. Si la característica de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$ es 2, entonces ${\displaystyle \scriptstyle {\text{O}}(n,\mathbb {F} )}$ y ${\displaystyle \scriptstyle {\text{SO}}(n,\mathbb {F} )}$ coinciden; en caso contrario el índice de ${\displaystyle \scriptstyle {\text{SO}}(n,\mathbb {F} )}$ en ${\displaystyle \scriptstyle {\text{O}}(n,\mathbb {F} )}$ es 2.

${\displaystyle \scriptstyle {\text{O}}(n,\mathbb {F} )}$ y ${\displaystyle \scriptstyle {\text{SO}}(n,\mathbb {F} )}$ son grupos algebraicos, porque la condición que una matriz sea ortogonal, es decir que su propia transpuesta sea su inversa, se puede expresar como un conjunto de ecuaciones polinómicas en las entradas de la matriz.