En geometría, el invariante de Dehn de un poliedro es un valor que se usa para determinar si los poliedros pueden ser congruentemente diseccionados entre sí o si pueden rellenar el espacio. Lleva el nombre de Max Dehn, quien lo usó para resolver el tercer problema de Hilbert, que versa sobre si todos los poliedros con el mismo volumen son congruentemente diseccionables entre sí. La condición hallada por Dehn toma la forma:
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Un poliedro se puede cortar y volver a ensamblar para teselar el espacio tridimensional si y solo si su invariante de Dehn es cero, por lo que tener el invariante de Dehn cero es una condición necesaria para ser un poliedro que rellena el espacio. El invariante de Dehn de un poliedro flexible libre de auto-intersección es invariante a medida que se flexiona.
El invariante de Dehn es cero para un cubo, pero distinto de cero para los otros sólidos platónicos, lo que implica que los otros sólidos no pueden enlosar el espacio y que no se pueden diseccionar en un cubo. Todos los sólidos arquimedianos tienen invariantes de Dehn que son combinaciones racionales de los invariantes de los sólidos platónicos. En particular, el octaedro truncado también rellena el espacio y tiene un invariante de Dehn cero como el cubo.
Los invariantes de Dehn de los poliedros son elementos de un espacio vectorial de dimensión infinita. Como grupo abeliano, este espacio es parte de una sucesión exacta que involucra una homología de grupo.
También se pueden definir invariantes similares para algunos otros rompecabezas de disección, incluido el problema de diseccionar un polígono rectilíneo entre sí mediante cortes y traslaciones de ejes paralelos.