Logaritmo

Logaritmo
Gráfica de Logaritmo
Definición	${\displaystyle \log _{b}(x):={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{+}-\{1\}}$
Tipo	Función real
Descubridor(es)	John Napier (1614)
Dominio	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
Codominio	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Imagen	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Propiedades	Biyectiva Cóncava Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln(b)}}\,}$
Función inversa	${\displaystyle b^{x}}$ o ${\displaystyle e^{x\cdot \ln(b)}}$
Límites	${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+} \atop b>1}\log _{b}(x)=-\infty \,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty \atop b>1}\log _{b}(x)=+\infty \,}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+} \atop 0<b<1}\log _{b}(x)=+\infty \,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty \atop 0<b<1}\log _{b}(x)=-\infty \,}$
Funciones relacionadas	Función exponencial
El rojo representa el logaritmo en base e. El verde corresponde a la base 10. El púrpura al de la base 1,7.
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En análisis matemático el logaritmo en base ${\displaystyle b}$ de un número real positivo ${\displaystyle n}$ es el exponente ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle b}$ para obtener ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \log _{b}n=x\quad \Leftrightarrow \ \quad b^{x}=n}$

La base tiene que ser positiva y distinta de 1.

Cuando la base es 10, esta no se pone, y se escribe como ${\displaystyle \log n=x}$ y cuando es ${\displaystyle {\text{e}}\,}$ se escribe como ${\displaystyle \ln n=x}$

Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000:

${\displaystyle \log _{10}1000=3\quad \Leftrightarrow \ \quad 10^{3}=1000}$

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base, y después el número cuyo logaritmo se desea hallar o expresar. Por ejemplo, 3⁵=243, luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos y fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho, importante en sí mismo —por identidades logarítmicas—, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}$

La noción actual de los logaritmos proviene de Leonhard Euler, quien los conectó con la función exponencial en el siglo XVIII y también introdujo el Número de Euler (representado por la letra e) como base de los logaritmos naturales.