Serie de potencias

En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\ldots }$

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$ son los términos de una sucesión. Las series de potencias son útiles en el análisis matemático, donde surgen como series de Taylor de funciones infinitamente diferenciables. De hecho, el Teorema de Borel implica que toda serie de potencias es la serie de Taylor de alguna función suave.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots .}$

Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente. Más allá de su papel en el análisis matemático, las series de potencias también aparecen en Combinatoria como Función Generatriz (un tipo de serie formal de potencias) y en ingeniería electrónica (bajo el nombre de la Transformada Z). La notación decimal familiar para los números reales también puede considerarse como un ejemplo de una serie de potencias, con coeficientes enteros, pero con el argumento x fijado en 1/10. En Teoría de Números, el concepto de números p-ádicos también está estrechamente relacionado con el de una serie de potencias.