Teorema de De Branges

En análisis complejo, el teorema de De Branges (que permitió probar la conjetura de Bieberbach), es un teorema que da un condición necesaria y suficiente de una función holomorfa para que asigne el disco unidad abierto del plano complejo inyectivamente al plano complejo. La conjetura fue planteada por Ludwig Bieberbach,^[1]​ siendo finalmente probada por Louis de Branges de Bourcia.^[2]​

La declaración se refiere a los coeficientes de la serie de Taylor a_n de una función univalente, es decir, una función holomórfica uno a uno que aplica el disco unitario en el plano complejo, normalizado como siempre es posible de modo que a₀ = 0 y a₁ = 1. Es decir, se considera una función definida en el disco unidad abierto que es holomórfica e inyectiva (univalente) con la serie de Taylor de la forma

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}$

Estas funciones se denominan schlicht (en alemán, simple o llano). El teorema luego establece que

${\displaystyle |a_{n}|\leq n\quad {\text{para todo }}n\geq 2.}$

La función de Koebe (véase más abajo) es una función en la que a_n = n para todo n, y es schlicht, por lo que no se puede encontrar un límite más estricto en el valor absoluto del coeficiente n.

1. ↑ Bieberbach, 1916.
2. ↑ de Branges, 1985.