Variedad de Stiefel

En matemáticas, la variedad de Stiefel ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ es el conjunto de todos los k-marcos ortonormales en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ es decir, es el conjunto de las k-tuplas de vectores ortonormales ordenados en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Lleva el nombre del matemático suizo Eduard Stiefel. Del mismo modo, se puede definir la variedad de Stiefel compleja ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$ de k-marcos ortonormales en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ y la variedad de Stiefel cuaterniónica ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$ de k-marcos ortonormales en ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. De manera más general, la construcción se aplica a cualquier espacio prehilbertiano real, complejo o cuaterniónico.

En algunos contextos, una variedad de Stiefel no compacta se define como el conjunto de todos los k-marcos linealmente independientes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n},}$ o en ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n};}$ resultando una equivalencia homotópica, ya que la variedad de Stiefel compacta es una retracción de deformación de la no compacta, mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Las afirmaciones sobre la forma no compacta corresponden a las de la forma compacta, reemplazando grupo ortogonal (o unitario o grupo simpléctico) por grupo lineal general.