Fonction affine

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Fonction affine

Courbes représentatives des fonctions ${\displaystyle x\mapsto 0,5x+2}$ et ${\displaystyle x\mapsto -x+5}$.

Notation	${\displaystyle ax+b}$
Réciproque	${\displaystyle {\frac {1}{a}}x-{\frac {b}{a}}}$ si ${\displaystyle a\neq 0}$
Dérivée	${\displaystyle a}$
Primitives	${\displaystyle {\frac {a}{2}}x^{2}+bx+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Ensemble image	${\displaystyle \mathbb {R} }$ si ${\displaystyle a\neq 0}$

Valeurs particulières

Valeur en zéro	${\displaystyle b}$
Limite en +∞	${\displaystyle +\infty }$ si ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle -\infty }$ si ${\displaystyle a<0}$
Limite en −∞	${\displaystyle -\infty }$ si ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle +\infty }$ si ${\displaystyle a<0}$

Particularités

Zéros	${\displaystyle -{\frac {b}{a}}}$
Points fixes	${\displaystyle {\frac {b}{1-a}}}$ si ${\displaystyle a\neq 1}$

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En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

où les paramètres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ ne dépendent pas de ${\displaystyle x}$^[1].

Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont ${\displaystyle a}$ est la pente et ${\displaystyle b}$ l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique^[2], une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.