Groupe cyclique

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique est un groupe qui est à la fois fini et monogène[1], c'est-à-dire qu'il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de a (en notation additive, ou comme puissance en notation multiplicative) ; cet élément a est appelé générateur du groupe.

Il n'existe, à isomorphisme près, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient ℤ/nℤ — également noté ℤn ou Cn — de ℤ par le sous-groupe des multiples de n.

Les groupes cycliques sont importants en algèbre. On les retrouve, par exemple, en théorie des anneaux et en théorie de Galois.

  1. ↑ Il s'agit là de la définition la plus commune en français, bien que certains auteurs français aient adopté l'usage anglo-germanique selon lequel un groupe cyclique n'est pas nécessairement fini. Ainsi un groupe cyclique n'est pas nécessairement fini selon Roger Godement, Cours d'algèbre, Hermann, 3e éd., 1978, p. 121, N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, Partie 2, Springer, 2006, p. 82, et David A. Madore, « Groupe cyclique et entier modulaire ». Toutefois, N. Bourbaki, Algèbre : Chapitres 1 à 3, Springer, , 2e éd., 636 p. (ISBN 978-3-540-33850-5, lire en ligne), I.47 (idem, même page, dans l'édition de 1970), définit un groupe cyclique comme un groupe monogène fini (le terme cyclique fait référence à une boucle : élevé à une certaine puissance n, le générateur g est égal à lui-même et l'ordre du groupe est fini). De même dans l'éd. française d'Algèbre de S. Lang, 2004, où le traducteur dit (p. XVI) s'être efforcé d'adopter la terminologie consacrée par la tradition française.