Logique classique

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La logique classique est la première formalisation du langage et du raisonnement mathématique développée à partir de la fin du XIX^e siècle en logique mathématique. Appelée simplement logique à ses débuts, c'est l'apparition d'autres systèmes logiques formels, notamment de la logique intuitionniste, qui a suscité l'adjonction de l'adjectif classique au terme logique. À cette époque, le terme de logique classique fait référence à la logique aristotélicienne^[1],[2].

La logique classique est caractérisée par des postulats qui la fondent et la différencient de la logique intuitionniste, exprimés dans le formalisme du calcul des propositions ou du calcul des prédicats :

• Le tiers exclu énonce que pour toute proposition mathématique considérée, elle-même ou sa négation est vraie : ${\displaystyle A\lor \neg A}$

• Le raisonnement par l'absurde : ${\displaystyle \lnot \neg A\Rightarrow A}$

• La contraposition : ${\displaystyle {\big (}\neg B\Rightarrow \neg A{\big )}\Rightarrow {\big (}A\Rightarrow B{\big )}}$

• L'implication matérielle : ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg A\lor B)}$

Ces principes sont équivalents par raisonnement intuitionniste, c’est-à-dire que l'on peut montrer que n'importe lequel d'entre eux permet de déduire les autres en utilisant les règles intuitionnistes.

On y ajoute généralement l'une des lois de De Morgan : ${\displaystyle \neg (A\land B)\Rightarrow (\neg A\lor \neg B)}$

Ces principes contribuent au fait que les modèles calculatoires de la logique classique sont beaucoup plus complexes que ceux de la logique intuitionniste.

Le principe

${\displaystyle (A\Rightarrow B)\vee (B\Rightarrow A)}$

est valide en logique classique, et n'est pas démontrable en logique intuitionniste^[3], mais son adjonction à la logique intuitionniste n'engendre pas la logique classique.