Matrice vide

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En mathématiques, une matrice vide^[1],[2] est définie comme une matrice dont l'une des dimensions ${\displaystyle m}$ ou ${\displaystyle n}$ est nulle ; il s'agit donc de matrices de dimension ${\displaystyle m\times 0}$, ${\displaystyle 0\times n}$ ou de manière triviale ${\displaystyle 0\times 0}$.

Une matrice pouvant être définie abstraitement par une famille finie d'éléments d'un ensemble ${\displaystyle K}$ (souvent un anneau commutatif ou un corps) indexés par un produit cartésien ${\displaystyle I\times J}$ où ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle J}$ sont des ensembles finis, une matrice vide correspond au cas où soit ${\displaystyle I}$ soit ${\displaystyle J}$ est l'ensemble vide^[3].

Ces matrices sont utiles pour travailler avec l'espace nul ${\displaystyle K^{0}}$ (${\displaystyle K}$ étant un corps commutatif quelconque, habituellement ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Elles permettent donc d'appliquer les matrices à cet espace vectoriel trivial. D'un point de vue pratique, les matrices vides étendent la validité de théorèmes à des cas limites ; elles permettent par exemple d'utiliser des équations de dynamique à des situations statiques^[4]. En informatique, une matrice vide peut être le résultat d'une recherche infructueuse ou bien survenir au début ou à la fin d'un algorithme itératif ; l'extension des règles de l'algèbre aux cas limite des matrices vides permet donc d'éviter de traiter ces cas comme des exceptions^[4].