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La topologie est la branche de la géométrie qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre. Par exemple, on identifie le cercle et l’ellipse, la couronne et la paroi latérale d’un cylindre de révolution, une tasse et un tore (voir animation) ; c’est-à-dire qu’ils sont respectivement homéomorphes.
En topologie, on étudie des espaces topologiques : ce sont des ensembles munis d’une notion de voisinage autour de chaque point. Les applications continues entre ces espaces préservent cette notion. La définition du voisinage est parfois induite par une distance entre les points, ce qui donne une structure d’espace métrique. C’est le cas notamment de la droite réelle, du plan, de l’espace tridimensionnel ou plus généralement d’un espace euclidien, et de leurs sous-ensemble comme le cercle, la sphère, le tore et d’autres variétés riemanniennes.
Dans un espace topologique, la notion locale de voisinage peut être remplacée par la notion globale d’ouvert, qui est un voisinage de chacun de ses points. L’ensemble des ouverts est également appelé « topologie ». Cette topologie peut être compatible avec une structure algébrique, d’où la définition de groupe topologique et d’espace vectoriel topologique, en particulier en analyse fonctionnelle.
La topologie générale définit les notions et constructions usuelles d’espaces topologiques. La topologie algébrique associe à chaque espace topologique des invariants algébriques comme des nombres, des groupes, des modules ou des anneaux qui permettent de les distinguer, en particulier dans le cadre de la théorie des nœuds. La topologie différentielle se restreint à l’étude des variétés différentielles, dans lesquelles chaque point admet un voisinage homéomorphe à une boule de dimension finie.