Valuation p-adique

En théorie des nombres, la valuation p-adique ou l'ordre p-adique d'un entier non nul n est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier p qui divise n : cet exposant est noté ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$. De manière équivalente, ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ est l'exposant auquel ${\displaystyle p}$ apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle n}$. On prolonge cette notation aux rationnels non nuls en posant ${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {m}{n}}\right)=\nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$.

La valuation p-adique est une valuation, analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue aboutit aux nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$, leur extension par rapport à la valuation ${\displaystyle p}$-adique aboutit au corps des nombres p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$^[1].