Diottro

Il diottro è un sistema ottico costituito dalla superficie di separazione di due mezzi con indice di rifrazione diverso. Se la superficie è piana, si parla di diottro piano, e tra i diottri non piani, quello di particolare rilevanza è il diottro sferico.^[1] Un sistema ottico centrato, composto da due diottri rifrangenti adiacenti (con almeno uno curvo), forma una lente^[2].

In approssimazione parassiale, quindi per angoli di incidenza piccoli, si può ricavare che la legge dei punti coniugati di un diottro è:

${\displaystyle {\frac {n_{1}}{p}}+{\frac {n_{2}}{q}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$

dove ${\displaystyle R}$ indica il raggio di curvatura della superficie. Infatti, facendo riferimento alla figura a lato (il fatto che il diottro sia convesso o concavo non cambia il risultato), dove ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$, è possibile scrivere le seguenti relazioni geometriche: ${\displaystyle \alpha +\omega +(\pi -\vartheta _{1})=\pi }$ e ${\displaystyle \beta +\vartheta _{2}+(\pi -\omega )=\pi }$. Inoltre, siccome per ipotesi iniziale ${\displaystyle \vartheta \sim \sin {\vartheta }\sim \tan {\vartheta }}$, la legge di Snell può essere riscritta come ${\displaystyle n_{1}\vartheta _{1}=n_{2}\vartheta _{2}}$, che unita a quelle precedentemente ricavate fornisce ${\displaystyle n_{1}\alpha +n_{2}\beta =(n_{2}-n_{1})\omega }$. Infine, poiché l'approssimazione parassiale coinvolge anche gli angoli ${\displaystyle \alpha ={\frac {l}{p}}}$, ${\displaystyle \beta ={\frac {l}{q}}}$ e ${\displaystyle \omega ={\frac {l}{R}}}$, si ottiene la legge scritta sopra.

Dato un sistema ottico, la conoscenza di pochi punti, detti punti principali, permette di costruire l'immagine di un qualsiasi oggetto. Per il diottro i punti principali sono il centro ${\displaystyle C}$ di curvatura della superficie ed i fuochi del diottro:

• Il centro di curvatura ${\displaystyle C}$ ha la proprietà che qualsiasi raggio di luce proveniente dallo spazio oggetto e passante per ${\displaystyle C}$ non subisce deviazioni nell'attraversare la calotta sferica.
• Il secondo fuoco ${\displaystyle F_{2}}$ del diottro è il punto in cui convergono tutti i raggi luminosi provenienti dallo spazio oggetto parallelamente all'asse ottico; il secondo fuoco è quindi l'immagine di un punto posto all'infinito (${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$). La distanza ${\displaystyle f_{2}}$ (con relativo segno) di tale punto dal vertice ${\displaystyle V}$del diottro è data ponendo

  ${\displaystyle f_{2}=q={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R}$

• il primo fuoco ${\displaystyle F_{1}}$ è invece il punto sull'asse ottico nello spazio oggetto la cui immagine è il punto posto all'infinito (${\displaystyle q\rightarrow +\infty }$):

  ${\displaystyle f_{1}=p={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R}$

È da osservare che le distanze focali ${\displaystyle f_{1}}$ e ${\displaystyle f_{2}}$ di un diottro hanno sempre lo stesso segno, uguale od opposto a quello del raggio di curvatura a seconda del segno di ${\displaystyle n_{2}-n_{1}}$. Moltiplicando ambo i membri della legge dei punti coniugati per ${\displaystyle {\frac {R}{n_{2}-n_{1}}}}$, essa può essere riscritta in modo che compaiano le distanze focali:

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{p}}+{\frac {f_{2}}{q}}=1}$

Altre formule utili che legano le grandezze in gioco sono ${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}}$ ed ${\displaystyle f_{2}-f_{1}=R}$.

Tramite considerazioni geometriche simili a quelle fatte in precedenza si ricava l'ingrandimento lineare trasversale del diottro:

${\displaystyle I={\frac {y'}{y}}={\frac {q-R}{p+R}}={\frac {n_{1}q}{n_{2}p}}}$

Il termine ${\displaystyle {\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$ al secondo membro dell'uguaglianza iniziale è anche detto potere convergente del diottro: se è positivo il diottro è detto convergente, mentre se è negativo il diottro è detto divergente.