Insieme delle parti

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In matematica, dato un insieme ${\displaystyle S}$, l'insieme delle parti di ${\displaystyle S}$, scritto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di ${\displaystyle S}$. Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di ${\displaystyle S}$ o booleano di ${\displaystyle S}$.

Per esempio, se ${\displaystyle S}$ è l'insieme ${\displaystyle \{a,b,c\}}$, allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta:

• ${\displaystyle \varnothing }$ (l'insieme vuoto)
• ${\displaystyle \{a\}}$
• ${\displaystyle \{b\}}$
• ${\displaystyle \{c\}}$
• ${\displaystyle \{a,b\}}$
• ${\displaystyle \{a,c\}}$
• ${\displaystyle \{b,c\}}$
• ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ che coincide con l'insieme stesso ${\displaystyle {S}}$

e quindi l'insieme delle parti di ${\displaystyle S}$ è

${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)=\{S'|S'\subseteq S\}=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},S\}}$

L'insieme delle parti di ${\displaystyle S}$ è alternativamente indicato in vari modi, come ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$, ${\displaystyle \wp (S)}$, o ${\displaystyle 2^{S}}$.