Teoria delle rappresentazioni

La teoria delle rappresentazioni è una branca della matematica che studia le strutture algebriche astratte "rappresentando" i loro elementi come trasformazioni lineari di spazi vettoriali^[1] e studiando i moduli su queste strutture algebriche astratte.^[2] Sostanzialmente una rappresentazione rende più concreto un oggetto algebrico astratto descrivendo i suoi elementi mediante matrici. La teoria delle matrici e delle trasformazioni lineari è ben nota, quindi rappresentazioni di oggetti più astratti in termini di oggetti familiari dell'algebra lineare semplifica i calcoli e aiuta a capire e determinare le proprietà di questi oggetti astratti.

Un gruppo di Lie è un gruppo che è anche una varietà differenziabile. Molti gruppi classici di matrici sui numeri reali o complessi sono gruppi di Lie. Molti gruppi importanti in fisica e chimica sono gruppi di Lie e la loro teoria delle rappresentazioni è cruciale per l'applicazione della teoria dei gruppi in questi campi.

La teoria delle rappresentazioni è uno strumento utile in quanto riduce problemi di algebra astratta a problemi di algebra lineare. Inoltre lo spazio vettoriale su cui (per esempio) un gruppo è rappresentato può essere di dimensione infinita. Se questo, per esempio, è uno spazio di Hilbert, allora i metodi dell'analisi funzionale possono essere applicati alla teoria dei gruppi.^[3][4] La teoria delle rappresentazioni è importante anche in fisica poiché, per esempio, descrive come il gruppo di simmetria di un sistema fisico influenza le soluzioni delle equazioni che descrivono il sistema.^[5]

La teoria delle rappresentazioni è presente in tutti i campi della matematica per due ragioni. In primo luogo, le applicazioni della teoria delle rappresentazioni sono diverse; oltre al suo impatto sull'algebra, la teoria delle rappresentazioni:

• rende più chiara e generalizza l'analisi di Fourier tramite l'analisi armonica;
• è connessa alla geometria tramite la teoria degli invarianti e il programma di Erlangen;
• ha un impatto sulla teoria dei numeri tramite le forme automorfe e il programma Langlands.

In secondo luogo, ci sono diversi approcci alla teoria delle rappresentazioni. Gli stessi oggetti possono essere studiati usando metodi della geometria algebrica, della teoria dei moduli, della teoria analitica dei numeri, della geometria differenziale, della teoria degli operatori, della combinatoria algebrica e della topologia.

Il successo della teoria delle rappresentazioni ha portato a numerose generalizzazioni. Una delle versioni più generali si ha nella teoria delle categorie. Gli oggetti algebrici a cui si applica la teoria delle rappresentazioni possono essere visti come particolari tipi di categorie e le rappresentazioni come funtori dalla categoria degli oggetti algebrici considerati alla categoria degli spazi vettoriali.^[6] Questa descrizione indica due ovvie generalizzazioni: primo, gli oggetti algebrici possono essere sostituiti da categorie più generali; secondo, la categoria di arrivo degli spazi vettoriali può essere sostituita da altre categorie ben studiate.