Trasformata di Hilbert

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La trasformata di Hilbert è una trasformata integrale, definita per un segnale generico ${\displaystyle x(t)}$ come:

${\displaystyle {\hat {x}}(t)\equiv {\mathcal {H}}\{x(t)\}=x(t)*h_{H}(t)={\text{p.v.}}\int _{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h_{H}(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ {\text{p.v.}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,\quad t\in (-1,+1),}$

dove ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$ è la funzione o segnale trasformato; ${\displaystyle h_{H}(t)={\frac {1}{\pi t}}=\delta (jt)}$ è la risposta impulsiva del filtro di Hilbert e il prefisso "p.v." indica che l'integrale deve esistere come valore principale di Cauchy.

La trasformata di Hilbert è una trasformata integrale, ossia un'applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni, realizzata con un integrale. Le trasformate integrali sono utili per ridurre equazioni differenziali lineari a equazioni algebriche e per l'analisi dei segnali. La trasformazione è invertibile. L'inverso è un'applicazione tre volte. Una doppia applicazione produce un orientamento invertito.

In particolare, il principale impiego della trasformata di Hilbert è nel settore delle telecomunicazioni, poiché consente di adattare un segnale o funzione di ${\displaystyle t}$ al canale di comunicazione che consente di trasmetterlo in un range o intervallo prefissato di frequenze (banda del canale di comunicazione): ciò avviene tramite lo sviluppo in componenti analogiche di bassa frequenza. Viene impiegata anche in ambito militare nei sonar per la collimazione dei bersagli.

Si osservi che l'operazione ${\displaystyle x(t)*y(t)}$ è l'operazione di convoluzione tra 2 segnali ${\displaystyle x(t)}$ e ${\displaystyle y(t)}$.