Tate m’a écrit de son côté sur ses histoires de courbes elliptiques, et pour me demander si j’avais des idées sur une définition globale des variétés analytiques sur des corps complets. Je dois avouer que je n’ai pas du tout compris pourquoi ses résultats suggéreraient l’existence d’une telle définition, et suis encore sceptique.
Alexander Grothendieck in a 1959 August 18 letter to Jean-Pierre Serre, expressing skepticism about the existence of John Tate's theory of global analytic varieties over complete fields
In mathematics, a rigid analytic space is an analogue of a complex analytic space over a nonarchimedean field. Such spaces were introduced by John Tate in 1962, as an outgrowth of his work on uniformizing p-adic elliptic curves with bad reduction using the multiplicative group. In contrast to the classical theory of p-adic analytic manifolds, rigid analytic spaces admit meaningful notions of analytic continuation and connectedness.